“吐出量一定”の一般式としての表し方

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【単位体積あたりの動力一定時における撹拌作用の変化】」のページで紹介したように，スケールアップ前後で吐出作用Qを優先的に一定となるような条件を設けたら良いのではないか？という考えが出てきます。

そこで，微細化作用Heを含まないように単位体積あたりの吐出量Q_Vを等しくすることを考えましたが，スケールアップ理論として取り扱うことができないことがわかりました。

📝[memo]　低速撹拌機による混合目的では，吐出作用Qを対象に考えるべきものが圧倒的に多いです。

今度は，体積を無視して吐出量Qのみを等しくすることを考えてみます。

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一般的に，「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^–3」と表されることがあります。

下図に記載されているような計算をすることによって，最終的にこのような結論が得られます。

スケールアップ前

このときの回転数N₁，タービン羽根の直径D₁とすると，吐出量「Q₁ = N_q1N₁D₁³・10³」となります。

スケールアップ後

このときの回転数N₂，タービン羽根の直径D₂とすると，吐出量「Q₂ = N_q2N₂D2³・10³」となります。

“吐出量一定”であるため，「Q₂ = Q₁」となります。

また，幾何学的相似が成り立つので「N_q1 = N_q2」とします。

そして，式変形をしていくと「N₂ = N₁(D₁/D₂)³」となります。

回転数Nを左辺に移項すると「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^–3」が得られます。

📝[memo]　Q₂ = Q₁　⇔　N_q2N₂D2³・10³ = N_q1N₁D₁³・10³　⇔　N₂D2³ = N₁D₁³　⇔　N₂ = N₁(D₁/D₂)³

吐出量一定時における撹拌作用の関係

“微細化作用He”と“吐出作用Q”を回転数Nとパドルミキサーの直径Dで表現することを考えます。

「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【周先端速度一定時における撹拌作用の変化】」のページで紹介したように，微細化作用Heと吐出量Qは次のように表されます。

• He ∝ N²D²
• Q ∝ ND³

吐出量が一定のとき，これらの撹拌作用がどのように変化するでしょうか？

微細化作用の関係

スケールアップ後の回転数N₂ = N₁(D₁/D₂)³で表されると紹介しました。

ここで，スケールアップ前後の微細化作用Heを計算します。

• スケールアップ前　👉　He₁ ∝ N₁²D₁²
• スケールアップ後　👉　He₂ ∝ N₂²D₂² = {N₁(D₁/D₂)³}²D₂² = N₁²D₁⁶/D₂⁴

He₂/He₁ ∝ (N₁²D₁⁶/D₂⁴)/N₁²D₁² = (D₂/D₁)^–4

したがって，パドルミキサー羽根の直径Dが2倍になると，微細化作用Heは1/16(= 0.0625)倍になることがわかります。

微細化作用を無視して吐出作用のみの条件を考えましたが，微細化作用が小さくなってしまいました。

微細化作用を考えないことをコンセプトとしていたので，これは良い傾向かもしれません。

📝[memo]　パドルミキサー羽根の直径Dの変化の仕方（スケールアップの仕方）によって，微細化作用Heは異なります（＝一定ではありません）。

吐出作用の関係

次に，スケールアップ前後の吐出作用Qを計算します。

• スケールアップ前　👉　Q₁ ∝ N₁D₁³
• スケールアップ後　👉　Q₂ ∝ N₂D₂³ = {N₁(D₁/D₂)³}D₂³ = N₁D₁³

Q₂/Q₁ ∝ N₁D₁³/N₁D₁³ = 1 (= const.)

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になっても，吐出作用Qは一定であることがわかります。

📝[memo]　パドルミキサーの直径Dがどのような変化（どのようなスケールアップ）をしても，吐出作用Qは一定になります。

撹拌時間の関係

最後に，「”（条件②）パス回数が等しくなるようにする”という考え方」を採用して，撹拌作用ではありませんが撹拌時間についても考えます。

n₂ = n₁が成り立つ条件を採用することを意味します。

📝[memo]　「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【パス回数が等しくなるようにする】」のページで紹介しました。

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは？】」のページで紹介したように，幾何学的相似が成り立つのでV = αD³を満たします。

• スケールアップ前　👉　t₁ ∝ n₁V₁/Q₁ ∝ n₁(αD₁³)/(N₁D₁³) = αn₁/N₁
• スケールアップ後　👉　t₂ ∝ n₂V₂/Q₂ ∝ n₁(αD₂³)/(N₁D₁³) = αn₁/N₁・(D₂/D₁)³

📝[memo]　パス回数の式を変形した乳化時間t = …の式に，上述した吐出量（吐出作用）Qを代入しています。

📝[memo]　ここでは「パス回数＝循環回数」，「乳化時間＝撹拌時間」と置き換えます。

t₂/t₁ ∝ {αn₁/N₁・(D₂/D₁)³}/(αn₁/N₁) = (D₂/D₁)³

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，撹拌時間tは8倍になることがわかります。

📝[memo]　製品仕込量Vにおいて幾何学的相似が成り立つので，撹拌時間tはパドルミキサーの直径Dだけで表すことができます。

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一方，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【回転数・混合時間/乳化時間の考え方】」のページで紹介した”無次元混合時間”を採用する場合があります。

• スケールアップ前　👉　t_M1 ∝ 1/N₁
• スケールアップ後　👉　t_M2 ∝ 1/N₂ = 1/{N₁(D₁/D₂)³} = 1/N₁・(D₂/D₁)³

📝[memo]　無次元混合時間の式を変形した混合時間t_M = …の式に，上述した回転数Nを代入しています。

📝[memo]　ここでは「撹拌時間＝混合時間」と置き換えます。

t_M2/t_M1 ∝ {αn₁/N₁・(D₂/D₁)³}/(αn₁/N₁) = (D₂/D₁)³

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，撹拌時間tは8倍になることがわかります。

まとめ

ここで，まとめをしておきましょう。

スケールアップをして羽根径が2倍になると，吐出量一定時において各種因子は下表のように変化します。

“吐出量一定”であること

”吐出量一定”という条件であれば，スケールアップで不要な”微細化作用”が小さくなるので利用できそうな気がします。

しかしながら，乳化撹拌装置が大きくなったときに非常に長い撹拌時間を必要とするので，生産効率が非常に悪いと言えます。

したがって，特別な事情がない限りは，実務では経済性の問題から採用できないという事情があります。

…ということは，”吐出量一定”というスケールアップ理論は扱うことができません。

ここまで読んでいただいた方には申し訳ありませんが，実際には適用できないダメな事例を長々と説明させていただきました。

📝[memo]　取り扱うことができないスケールアップ理論が，2回連続になってしましました。