単位体積あたりの動力

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【一般的な撹拌機によるスケールアップ計算式】」のページで，”N³D²”は何を意味するのか？という疑問を提示したまま終わりました。

ここではその答えを考えることになります。

いきなり結論から言うと，”N³D²”は単位体積あたりの動力を意味します。

正味の所要動力P_netとは…

先に，正味の所要動力P_netについて簡単に触れておきます。

単位体積あたりの動力P_Vは，正味の所要動力P_net/製品仕込量Vで得られるためです。

正味の所要動力P_netは，1秒間あたりの運動エネルギーのイメージです。

📝[memo]　1秒間で流体に付与する運動エネルギー＝正味の所要動力として考えることができそうです。

次に，正味の所要動力P_netの導出をしておきます。

1秒間に移動する円柱状流体の質量

m = Q・(N/60) = {π(D²/4)h・ρ}・(N/60) = π(D²/4)(αD)・ρ・(N/60) = (πα/4)ρ(N/60)D³

📝[memo]　「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“ホモミキサー”による吐出量】」のページで紹介した考え方を採用します。

周先端速度

v = U = πND/60 = π(N/60)D

1秒間あたりの運動エネルギー（正味の所要動力）

P_net = (1/2)mv² = (1/2)・{(πα/4)ρ(N/60)D³}・{π(N/60)D}² = (π³α/8)ρ(N/60)³D⁵ = N_pρ(N/60)³D⁵

📝[memo]　π³α/8は定数であるので，まとめてN_pに置き換えています。

単位体積あたりの動力P_Vを決める因子

単位体積あたりの動力P_Vがどのような式の形で表現できるか？を確認してみましょう。

P_V = P_net/V = N_pρ(N/60)³D⁵/V

幾何学的相似により，V = αD³で表すことができるとします。

📝[memo]　体積は長さの3乗に比例するので，製品仕込量Vは羽根径Dの3乗に比例するとして，比例定数αを用いて表現しています。

P_V = N_pρ(N/60)³D⁵/αD³ = (N_pρ/60³α)(N³D²) ∝ N³D²

ここで，N_pρ/60³αはスケールアップ前後で変化しません。

すなわち，単位体積あたりの動力P_Vが”N³D²”に比例することがわかります。

混合を制御するための計算（推算）式

これまでの考え方をまとめ，“液体”＋“液体”の一般的な撹拌（パドルミキサー）の場合の条件を式にすることを考えます。

📝[memo]　繰り返し同じ話をする部分がありますが，改めて紹介します。

幾何学的相似

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【相似則の利用】」のページで紹介したように，基本的には”幾何学的相似”と”力学・運動学的相似”を考えます。

低速撹拌機は当社以外の撹拌機メーカーが得意とするところですが，基本的に幾何学的相似は満たされるように製作されています。

そこで，幾何学的相似を満たすような羽根径を決定するために，例えば下式を使用します。

📝[memo]　ここでは，「撹拌槽径に対する羽根径の割合」という代用的な事例を紹介していますが，適宜，幾何学的相似を満たすようにパドルミキサーの構造を考えていきます。

（条件①・②）単位体積あたりの動力を等しくする

上述した内容そのものです。

力学・運動学的相似に該当します。

循環回数（＝パス回数）または無次元混合時間を等しくする

1つの案は，「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【パス回数が等しくなるようにする】」のページで紹介したパス回数の考え方を採用して，撹拌時間を決定するものです。

📝[memo]　乳化ではないので，”循環回数”と名前を変えています。

もう1つの案は，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【回転数・混合時間/乳化時間の考え方】」のページで紹介した無次元混合時間の考え方を採用して，撹拌時間（混合時間）を決定するものです。

“単位体積あたりの動力一定”の一般式としての表し方

一般的に，「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^–2/3」と表されることがあります。

下図に記載されているような計算をすることによって，最終的にこのような結論が得られます。

スケールアップ前

このときの回転数N₁，タービン羽根の直径D₁とすると，単位体積あたりの動力は「P_V1 = (N_pρ/60³α)(N₁³D₁²)」となります。

スケールアップ後

このときの回転数N₂，タービン羽根の直径D₂とすると，単位体積あたりの動力は「P_V2 = (N_pρ/60³α)(N₂³D₂²)」となります。

“単位体積あたりの動力一定”であるため，「P_V2 = P_V1」となります。

そして，式変形をしていくと「N₂ = N₁(D₁/D₂)^2/3」となります。

回転数Nを左辺，タービン羽根の直径Dを右辺に移項すると「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^–2/3」が得られます。

📝[memo]　P_V2 = P_V1　⇔　(N_pρ/60³α)(N₂³D₂²) = (N_pρ/60³α)(N₁³D₁²)　⇔　N₂³D₂² = N₁³D₁²　⇔　N₂ = N₁(D₁/D₂)^2/3　⇔　N₂/N₁ = (D₂/D₁)^–2/3